Réflexions sur la théorie des ensembles

Un article de Caverne des 1001 nuits.

Sommaire 1 Le paradoxe de Russell revisité 1.1 Une définition commune de l'inclusion 1.2 Une mauvaise définition de l'ensemble 2 Le problème de l'identité x = x

Le paradoxe de Russell revisité

Si l'on considère le paradoxe de Russel^[1] de l'ensemble des ensembles ne se contenant pas, nous voyons avec la dernière notion l'illogisme d'une telle définition. Russell définit cet ensemble paradoxal comme (en notation actuelle) : y = {x | x ∉ x}.

Or, nous sommes ici en pleine confusion de "type" de notions manipulées. Remettons les choses à plat : considérons d'abord que lorsque l'on dit que x est un ensemble, on peut écrire x ⊂ x, mais en aucun cas x ∈ x. En effet, dans la seconde écriture, nous avons a à gauche considéré comme un élément et x à droite considéré comme un ensemble.

Une définition commune de l'inclusion

L'inclusion est couramment définie comme suit :

• soit A et B deux ensembles ;
• A ⊂ B équivaut à ∀ a ∈ A, a ∈ B.

Pour des ensembles de cardinaux finis, il est simple de montrer que A ⊂ A et que si A ⊄ A, cela signifie qu'il existe un a qui est à la fois élément et non élément de A.

Une mauvaise définition de l'ensemble

Le symbole ∈ définit une ambiguïté certaine qui est l'illustration d'une mauvaise définition de ce qu'est l'appartenance à un ensemble. Car au lieu de définir un seul symbole pour cette appartenance, nous avons de fait, en analyse conceptuelle

Or, dans les flous de la théorie des ensembles, flous causés par la non typologie des symboles (chose pourtant peu courante en analyse), Russell étudie : ∃ x ensemble : x ⊄ x. Si x est un ensemble d'éléments finis, il n'existe pas un tel ensemble x. Mais si nous envisageons que x est un ensemble d'ensembles, cela peut changer la vision des choses.

Au lieu d'utiliser des symboles ambigus comme ∈ ou ⊂, définissons une fonction binaire d'appartenance, φ : dans le contexte de x et de ses éléments, au lieu d'écrire a ∈ x, nous noterons φ(x, a) = vrai. L'avantage d'une telle notation est de mettre x en paramètre de la fonction d'appartenance φ et non plus en symbole absolu. φ est une fonction qui n'a pas de raison de se comporter de la même façon dans les cas suivants :

• φ(x₁, a) = vrai ;
• φ(x₂, a) = faux ;
• φ(y, z) = vrai ;
• etc.

La fonction φ est une fonction qui s'adapte au "type" des deux paramètres, le premier étant considéré comme l'ensemble et le second comme l'élément. Ainsi, si nous raisons inclusion

Le problème de l'identité x = x